Bài 6. Phép vị tự

Hoạt động 1

Trong hai bức tranh ở Hình 1.41, các hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có các cạnh tương ứng song song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.

a) Giải thích vì sao các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Hãy tính các tỉ số .

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua O hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí Thalès để chứng minh A, B, C, D lần lượt là trung điểm của A’O, B’O, C’O, D’O.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.

Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:

Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.

Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung bình của tam giác OB'C'. Suy ra  và C" là trung điểm của OC'.

Mặt khác theo giả thiết ta có . Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm của OC'.

Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.

Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên

.

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng trên hai bức tranh, cụ thể, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh, ta thấy đường thẳng này đi qua điểm O.

Câu hỏi

Phép vị tự _­ biến điểm O thành điểm nào? Nếu phép vị tự biến điểm M thành điểm M' thì phép vị tự   biến điểm M' thành điểm nào?

Phương pháp giải:

Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì

Lời giải chi tiết:

- Phép vị tự biến điểm O thành điểm O.

- Nếu phép vị tự biến điểm M thành điểm M' thì phép vị tự  biến điểm M' thành điểm M.

Thật vậy, nếu M' là ảnh M qua phép vị tự  thì . Điều này có nghĩa là M là ảnh của M' qua phép vị tự .

Luyện tập 1

Chứng minh rằng, phép vị tự là phép đồng nhất, phép vị tự là phép đối xứng tâm O.

Phương pháp giải:

Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì

Lời giải chi tiết:

+ Phép vị tự biến điểm M thành điểm M' thỏa mãn . Khi đó M' trùng với M. Do đó, phép vị tự là phép đồng nhất.

+ Phép vị tự biến điểm M thành điểm M" thỏa mãn . Khi đó O là trung điểm của MM". Do đó, M" là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O hay phép vị tự là phép đối xứng tâm O.

Vận dụng 1

Quan sát hai bức tranh em bé ôm chú gà ở phần mở đầu bài học và chỉ ra phép vị tự biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn và phép vị tự biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và tìm tỉ số k

Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì

Lời giải chi tiết:

Ta có: (theo HĐ1).

Suy ra .

Từ đó ta có các điểm A', B', C', D' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép vị tự . Do đó, phép vị tự V_{(O, 2)} biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B'C'D'.

Vậy phép vị tự biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn. Khi đó, phép vị tự  biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

Hoạt động 2

Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.

a) Biểu diễn các vectơ  tương ứng theo các vectơ .

b) Giải thích vì sao .

Phương pháp giải:

- Dựa và quy tắc hiệu

- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì

Lời giải chi tiết:

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có  và .

b) Ta có:  (theo quy tắc hiệu).

Vậy .

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25.

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.

c) Viết phương trình của (C').

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là:

Lời giải chi tiết:

a) Ta có (C): hay

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V_{(A, 2)} và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: 

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(A, 2)} nên 

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.

c) Phương trình đường tròn (C'): hay

Vận dụng 2

 Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh để trả lời

Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.

Lời giải chi tiết:

Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.