Bài 6 trang 127

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 10. $M$ là điểm trên $SA$ sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD$, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là

A. $\frac{400}{9}$.

B. $\frac{200}{3}$.

C. $\frac{40}{9}$.

D. $\frac{200}{9}$.

Lời giải chi tiết

Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $AB$, cắt $SB$ tại $N$.

Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $BC$, cắt $SC$ tại $P$.

Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $AD$, cắt $SD$ tại $Q$.

Ta có:

$\begin{array}{c}MN\parallel AB\\ AB\subset \left(ABCD\right)\end{array}\}\Rightarrow MN\parallel \left(ABCD\right)$

$\begin{array}{c}MQ\parallel AD\\ AD\subset \left(ABCD\right)\end{array}\}\Rightarrow MQ\parallel \left(ABCD\right)$

$\begin{array}{c}MN\parallel \left(ABCD\right)\\ MQ\parallel \left(ABCD\right)\\ MN,MQ\subset \left(\alpha \right)\end{array}\}\Rightarrow \left(MNPQ\right)\parallel \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}={\left(\frac{MN}{AB}\right)}^2$

Ta có: $S_{ABCD}=A{B}^2={10}^2=100$

$MN\parallel AB\Rightarrow \frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}\Rightarrow S_{MNPQ}=\frac{4}{9}{S}_{ABCD}=\frac{4}{9}.100=\frac{400}{9}$

Chọn A.