Bài 6 trang 65

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình

Đề bài

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, $C_{1}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{2}$ , $C_{2}$ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{4}, . . .$

Gọi $p_{n}$ là độ dài của $C_{n}$ , $S_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $C_{n}$ và đoạn thẳng AB.

a) Tính $p_{n}$ , $S_{n}$ .

b) Tìm giới hạn của các dãy số $(p_{n})$ và $(S_{n})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chu vi hình tròn $C = π d$ .

Diện tích hình tròn $S = π R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì $C_{n}$ là nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{2^{n}}$ nên ta có $p_{n} = \frac{1}{2} {.2}^{n} . \frac{A B}{2^{n}} . π = 2^{n} . \frac{R}{2^{n}} . π = π R$ .

Đường kính $\frac{A B}{2^{n}} = \frac{2 R}{2^{n}}$ nên bán kính $\frac{R}{2^{n}}$ .

$S_{n} = 2^{n} . {(\frac{R}{2^{n}})}^{2} . \frac{π}{2} = \frac{π R^{2}}{2} . \frac{1}{2^{n}} = \frac{π R^{2}}{2^{n + 1}}$ .

b) $lim p_{n} = lim (π R) = π R$ .

$lim S_{n} = lim \frac{π R^{2}}{2^{n + 1}} = lim [\frac{π R^{2}}{2} . {(\frac{1}{2})}^{n}]$

$= lim \frac{π R^{2}}{2} . lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0$ .