Bài 6 trang 80

Từ độ cao (55,8;{rm{m}}) của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18).

Đề bài

Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $S_{n}$ là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất $n$ lần. Tính $lim S_{n}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u_{1}}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết

Quả bóng từ trên cao thả xuống chạm đất lần thứ n sau: n lần rơi xuống và n - 1 lần nảy lên.

Gọi $u_{n}$ là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng khi rơi xuống n lần.

Ta có: $u_{1} = 55, 8$ ; $u_{2} = \frac{1}{10} . u_{1}$ ; $u_{3} = {(\frac{1}{10})}^{2} . u_{1}$ ; ...; $u_{n} = {(\frac{1}{10})}^{n - 1} . u_{1}$ .

Khi đó dãy $u_{n}$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 55, 8$ và công bội $q = \frac{1}{10}$ thỏa mãn $| q | < 1$ .

$\Rightarrow S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{55, 8}{1 - \frac{1}{10}} = 62$ (m).

Gọi $v_{n}$ là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng khi nảy lên n lần.

Ta có: $u_{1} = 55, 8. \frac{1}{10} = 5, 58$ ; $u_{2} = 5, 58. \frac{1}{10}$ ; $u_{3} = 5, 58. {(\frac{1}{10})}^{2}$ ; …; $u_{n - 1} = 5, 58. {(\frac{1}{10})}^{n - 2}$ .

Khi đó dãy $v_{n}$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 5, 58$ và công bội $q = \frac{1}{10}$ thỏa mãn $| q | < 1$ .

$\Rightarrow S_{n - 1} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n - 1} + . . . = \frac{5, 58}{1 - \frac{1}{10}} = 6, 2$ (m).

Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 + 6,2 = 68,2 (m).