Bài 6 trang 82

Cho hình hộp đứng (ABCD.A'B'C'D') có cạnh bên (AA' = 2a) và đáy (ABCD) là hình thoi có (AB = a) và (AC = asqrt 3 ).

Đề bài

Cho hình hộp đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bên $A A^{'} = 2 a$ và đáy $A B C D$ là hình thoi có $A B = a$ và $A C = a \sqrt{3}$ .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $A A^{'}$ .

b) Tính thể tích của khối hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

‒ Công thức tính thể tích khối lăng trụ: $V = S h$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O = A C \cap B D$ .

ABCD là hình thoi $\Rightarrow A C ⊥ B D \Rightarrow A O ⊥ B D$ .

$A A^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow A A^{'} ⊥ A O$ .

$\Rightarrow d (B D, A A^{'}) = A O = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

b) Tam giác OAB vuông tại O $\Rightarrow B O = \sqrt{A B^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a}{2}$ .

Suy ra $B D = 2 B O = a$ .

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{2} . a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

$V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .2 a = a^{3} \sqrt{3}$ .