Bài 6 trang 85

Đề bài

Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ ở tỉnh từ tâm của nó là

$F\left(r\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{GMr}{R^3}& khi0<x<R\\ \frac{GM}{r^2}& khir\ge R\end{array}$

trong đó $M$ là khối lượng, $R$ là bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn.

Hàm số $F\left(r\right)$ có liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ không?

Lời giải chi tiết

Hàm số $F\left(r\right)$ có tập xác định là $\left(0;+\infty \right)$.

Hàm số $F\left(r\right)$ xác định trên từng khoảng $\left(0;R\right)$ và $\left(R;+\infty \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$

$\begin{array}{c}\underset{r\to R^{+}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{lim}\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}\\ \underset{r\to R^{-}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{lim}\frac{GMr}{R^3}=\frac{GMR}{R^3}=\frac{GM}{R^2}\end{array}$

Vì $\underset{r\to R^{+}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{lim}F\left(r\right)=\frac{GM}{R}$ nên $\underset{r\to R}{lim}F\left(r\right)=\frac{GM}{R}=F\left(R\right)$.

Vậy hàm số $F\left(r\right)$ liên tục tại điểm $r_0=R$.

Vậy hàm số $F\left(r\right)$ liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.