Bài 6 trang 86

Cho chóp tứ giác S.ABCDS.ABCDS.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=4a,AB=4a,AB = 4a, AD=3aAD=3aAD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a5a5a. Góc nhị diện [S,BC,A][S,BC,A]\left[ {S,BC,A} \right] có số đo là

Đề bài

Cho chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật với $A B = 4 a,$ $A D = 3 a$ . Các cạnh bên đều có độ dài $5 a$ . Góc nhị diện $[S, B C, A]$ có số đo là

A. $75^{\circ} 46^{'}$ .

B. $71^{\circ} 21^{'}$ .

C. $68^{\circ} 31^{'}$ .

D. $65^{\circ} 12^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1}), q = (R) \cap (Q_{1}), O = p \cap q, M \in p, N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm của đáy. Kẻ $O H ⊥ B C (H \in B C)$ .

$Δ S A C$ cân tại $S$ $\Rightarrow S O ⊥ A C$

$Δ S B D$ cân tại $S$ $\Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ B C$

Mà $O H ⊥ B C$

Vậy $\hat{S H O}$ là góc nhị diện $[S, B C, A]$ .

$\begin{array}{l} S_{A B C D} = A B . A D = 12 a^{2} \Rightarrow S_{O B C} = \frac{1}{4} S_{A B C D} = 3 a^{2} \\ S_{O B C} = \frac{1}{2} B C . O H \Rightarrow O H = \frac{2 S_{O B C}}{B C} = 2 a \\ A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 5 a \Rightarrow O C = \frac{1}{2} A C = \frac{5 a}{2} \\ S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \frac{5 a \sqrt{3}}{2} \\ \tan \hat{S H O} = \frac{S O}{O H} = \frac{5 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow \hat{S H O} \approx 65^{\circ} 12^{'} \end{array}$

Chọn D.