Bài 6 trang 94

Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right)). Gọi (alpha ) là số đo của góc nhị diện (left[ {A,BC,S} right]).

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi $α$ là số đo của góc nhị diện $[A, B C, S]$ . Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác $A B C$ và $S B C$ bằng $\cos α$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$ :

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1})$ , $q = (R) \cap (Q_{1})$ , $O = p \cap q$ , $M \in p$ , $N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

Lời giải chi tiết

Kẻ $A H ⊥ B C (H \in B C)$ .

$S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ .

$\Rightarrow B C ⊥ (S A H) \Rightarrow B C ⊥ S H$ .

Vậy $\hat{S H A}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A, B C, S]$ .

$\Rightarrow \hat{S H A} = α$ .

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A H, S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} B C . S H$ .

$\Rightarrow \frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ S B C}} = \frac{\frac{1}{2} B C . A H}{\frac{1}{2} B C . S H} = \frac{A H}{S H} = \cos \hat{S H A} = \cos α$ .