Bài 6 trang 98

Đề bài

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố thoả mãn $P\left(A\right)=0,5;P\left(B\right)=0,7$ và $P\left(A\cup B\right)=0,8$.

a) Tính xác suất của các biến cố $AB,\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

b) Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập hay không?

Lời giải chi tiết

a) 

* Tính $P\left(AB\right)$:

Ta có $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$

$\iff 0,8=0,5+0,7-P\left(AB\right)$

$\iff P\left(AB\right)=0,4$.

* Tính $P\left(\overline{A}B\right)$:

Ta có $B=AB\cup \overline{A}B$ và $AB\cap \overline{A}B=\varnothing$ nên:

$P\left(B\right)=P\left(AB\right)+P\left(\overline{A}B\right)$

$\iff P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,7-0,4=0,3$.

* Tính $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)$:

Ta có $A\cup B$ và $\overline{A}\overline{B}$ là hai biến cố đối nên:

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)+P\left(A\cup B\right)=1$

$\iff P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=1-P\left(A\cup B\right)=1-0,8=0,2$.

b) Ta có $P\left(AB\right)=0,4$; $P\left(A\right).P\left(B\right)=0,5.0,7=0,35$.

Vì $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.