Bài 6 trang 99

Đề bài

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh cùng bằng $a$, hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }AB\right)$ và $\left(A^{\prime }AC\right)$ cùng vuông góc với $\left(ABC\right)$.

a) Chứng minh rằng $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$.

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{c}\left(A^{\prime }AB\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(A^{\prime }AC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(A^{\prime }AB\right)\cap \left(A^{\prime }AC\right)=A{A}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$

b) $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \left(A^{\prime }B,\left(ABC\right)\right)=\left(A^{\prime }B,AB\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$

$\Delta A{A}^{\prime }B$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{AB{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{AB{A}^{\prime }}={45}^{\circ }$

Vậy $\left(A^{\prime }B,\left(ABC\right)\right)={45}^{\circ }$.