Bài 6. Vecto trong không gian

Giải bài 2.1 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập :

a) Những vectơ nào có điểm đầu là S?

b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)?

c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ ?

Lời giải chi tiết

a) Các vectơ có điểm đầu là S là .

b) Những vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (SAB) là .

c) Vectơ đối của vectơ là .

Giải bài 2.2 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của hình hộp:

a) Vectơ nào cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AC}$?

b) Vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$?

c) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ ?

Lời giải chi tiết

a) Ta sẽ tìm các vectơ có giá song song với giá của .

Tứ giác là hình bình hành suy ra do đó các vectơ cùng phương với vectơ là .

b) Tứ giác là hình bình hành nên vectơ bằng .

c) Các vectơ đối của vectơ là .

Giải bài 2.3 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = AD = 1\) và \(AA' = 2\). Tính độ dài của các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow {BD} \)

b) \(\overrightarrow {CD'} \)

c) \(\overrightarrow {AC'} \)

Lời giải chi tiết

a)  Xét tam giác vuông cân ABD ta có \(BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \).

b) Xét tam giác vuông cân CDD’ ta có \(BD' = \overrightarrow {\left| {BD'} \right|}  = \sqrt {D{C^2} + D{{D'}^2}}  = \sqrt {1 + 4}  = \sqrt 5 \).

c) Ta có tứ giác ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1, suy ra \(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông ACC’  có \(AC' = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}}  = \sqrt {2 + 4}  = \sqrt 6 \).

Giải bài 2.4 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {DE} \);

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {BD} \);

c) \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {BE}  - \overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {DE} \) (đ.p.c.m).

b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  + \left( {\overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {DE} } \right) + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {BD} \) (đ.p.c.m).

c) Ta có \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DE}  = BE + EC + DC + CE = BE + \left( {EC + CE} \right) + DC = BE + DC = BE - CD\) (đ.p.c.m).

Giải bài 2.5 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, CD sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB\) và \(CF = \frac{1}{3}CD\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \);

b) \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \);

c) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AF}  =  - \overrightarrow {AE}  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DF} } \right) =  - \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AD}  + \left( {\overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CF} } \right)\\ = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AF}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CF}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\end{array}\)

c) Từ ý a và ý b suy ra

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {EF}  = \left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {BC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)\\ = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {BC}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \) (đ.p.c.m).

Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có (do E là trọng tâm và AM  là trung tuyến của tam giác). Suy ra . Tương tự xét tam giác ABD  có (do F là trọng tâm và AN  là trung tuyến của tam giác).

Do đó ta có

b) Xét tam giác BCD có MN là đường trung bình suy ra .

Kết hợp với ý a ta có

Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

Lời giải chi tiết

Gọi vectơ biểu diễn độ di chuyển của thang máy từ tầng 10 lên tầng 26 là \(\overrightarrow a \), vectơ biểu diễn độ di chuyển của thang máy từ tầng 26 xuống tầng 18 là \(\overrightarrow b \).  Khi đó hai vectơ này cùng phương và ngược hướng. Độ dài của mỗi vectơ bằng tổng độ cao của các tầng mà thang máy đi qua.

Độ dài \(\overrightarrow a \) là độ cao của số tầng là \(26 - 10 = 16\) (tầng).

Độ dài của \(\overrightarrow b \) là độ cao của số tầng là \(26 - 18 = 8\) (tầng).

Do đó \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\left| {\overrightarrow b } \right|\). Từ đó suy ra \(\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b \).

Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow u \)) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \)). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow x  = \overrightarrow y  = \overrightarrow z  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết

Các vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \) đôi một cùng phương vì đều có giá vuông góc với mặt đất, cùng hướng vì chúng ngược hướng với trọng lực và chúng có độ lớn bằng nhau vì trọng lực phân tán đều qua ba chân bàn.

Do đó \(\overrightarrow x  = \overrightarrow y  = \overrightarrow z \) và \(\left| {\overrightarrow x } \right| = \left| {\overrightarrow y } \right| = \left| {\overrightarrow z } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow u } \right|\).

Vậy \(\overrightarrow x  = \overrightarrow y  = \overrightarrow z  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow u \).

Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow x \), \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow y \), \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow z \). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \):

a) \(\overrightarrow {AD} \);

b) \(\overrightarrow {AC'} \);

c) \(\overrightarrow {BD'} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có đáy \(ABCD\) là hình bình hành do đó \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

Mặt khác \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow y  + \overrightarrow z \). Vậy \(\overrightarrow {AD}  =  - \overrightarrow y  + \overrightarrow z \).

b) Ta có \(ACC'A'\) là hình bình hành suy ra \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'} \).

Do đó \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow z  + \overrightarrow x \).

c) Ta có \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AA'} \). Khi đó

\(\overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'}  =  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow y  + \overrightarrow z  + \overrightarrow {AA'}  =  - \overrightarrow y  - \overrightarrow y  + \overrightarrow z  + \overrightarrow x  = \overrightarrow x  - 2\overrightarrow y  + \overrightarrow z \).

Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

.

b) Đề và đáp án trong sách bài tập sai, nếu đổi đề thành thì mới chứng minh được.

Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết rằng \(AA' = 2\) và tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 1\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'D'} \)

b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} \)

c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {AD} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC}\).

Mặt khác, xét hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot 60}}{2} = {120^ \circ }\).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = {120^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {A'D'}  = AB \cdot AD \cdot \cos {120^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\).

b) Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot BD\), do đó \(\overrightarrow {AA'}  \bot \overrightarrow {BD} \) hay \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {90^ \circ }\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow {AC} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\).

Mặt khác, xét hình tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = 1\) nên tam giác \(ABC\) cân tại B,

mà \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\) suy ra tam giác \(ABC\) là tam giác đều, vì vậy \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {A'C'}  = AB \cdot A'C' \cdot \cos {60^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).

Giải bài 2.12 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^ \circ }\).

Tính các tích vô hướng sau:

a) \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\)

c) \(\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 1 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \); \({\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = 1\) và \({\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 4\).

a) Ta có \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 1 + 2 \cdot \sqrt 2  + 4 = 5 + 2\sqrt 2 \).

b) \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} = 1 - 4 =  - 3\).

c) Ta có:

\(\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} + 6 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  - \overrightarrow b  \cdot \overrightarrow a  - 3 \cdot {\overrightarrow b ^2} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  - 3 \cdot 4 = 2 + 5 \cdot \sqrt 2  - 12 =  - 10 + 5\sqrt 2 \).

Giải bài 2.13 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh BC, suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC . Vì vậy \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).

Tương tự ta cũng có PQ là đường trung bình của tam giác ACD do đó \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\), do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Khi đó ta có G là trung điểm của mỗi đường chéo MP và NQ.

Suy ra \(\overrightarrow {GM}  =  - \overrightarrow {GP} \) hay \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  \)

\(= 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GP}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Giải bài 2.14 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'} \);

b) \(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'} \);

c) \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD} \).

Mặt khác \(BD \bot AC\)(do ABCD  là hình vuông) hay \(\overrightarrow {BD}  \bot \overrightarrow {AC} \),

suy ra \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\).

b) Ta có \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC} \). Suy ra:

\(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) \)

\(= a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2  \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{       }}\left( 1 \right)\).

Ta sẽ tính cạnh \(AC'\) và xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)\).

Ta có \(CB \bot AB\) suy ra \(C'B \bot AB\), do đó tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\).

Xét tam giác \(ABC'\) có \(AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Lại có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\) suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Thay \(AC' = a\sqrt 3 \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}\).

Giải bài 2.15 trang 46 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\).

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \).

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có ba tam giác \(SAB,{\rm{ }}SAC,{\rm{ }}SAB\) đôi một bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó \(AB = BC = AC\) (cạnh tương ứng), suy ra tam giác \(ABC\)là tam giác đều.

Giả sử \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(HM \bot BC\) với \(M \in BC\) ta có \(SM \bot BC\).

Mặt khác, tam giác \(SBC\) cân tại \(S\)(giả thiết \(SB = SC\)) suy ra \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\).

Từ đó suy ra \(HM\) là một phần đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Tương tự, kẻ \(HN \bot AB\) ta thu được \(HN\) là một phần đường trung tuyến của tam giác

\(ABC\). Do đó ta có \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Ta có \(AM\) là hình chiếu của \(SA\) trên \(\left( {ABC} \right)\) và \(AM \bot BC\) suy ra \(SA \bot BC\) do đó \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\)

Chứng minh tương tự ta thu được \(SB \bot AC\) và \(SC \bot AB\).

Vậy \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).