Bài 7.11 trang 47

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) $y = 2^{x} - 5^{x}$

b) $y = \sqrt{x + 3}$

c) $y = x \ln x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng công thức ${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a$

b) Áp dụng công thức ${\sqrt{u}}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$ ; ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - v^{'} . u}{v^{2}}$

c) Áp dụng công thức ${(u . v)}^{'} = u^{'} v + v^{'} u$ ; ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

Lời giải chi tiết

a) $y^{'} = {(2^{x} - 5^{x})}^{'} = 2^{x} \ln 2 - 5^{x} \ln 5$

$y^{″} = {(2^{x} \ln 2 - 5^{x} \ln 5)}^{'} = 2^{x} \ln 2. \ln 2 - 5^{x} \ln 5. \ln 5 = 2^{x} \ln^{2} 2 - 5^{x} \ln^{2} 5$

b) $y^{'} = {\sqrt{x + 3}}^{'} = \frac{{(x + 3)}^{'}}{2 \sqrt{x + 3}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

$y^{″} = \frac{1^{'} .2 \sqrt{x + 3} - {(2 \sqrt{x + 3})}^{'} .1}{{(2 \sqrt{x + 3})}^{2}} = \frac{- 2. {(x + 3)}^{'}}{2 \sqrt{x + 3}} . \frac{1}{4 (x + 3)} = \frac{- 1}{4 (x + 3) \sqrt{x + 3}}$

c) $y^{'} = {(x \ln x)}^{'} = x^{'} . \ln x + {(\ln x)}^{'} . x = \ln x + \frac{1}{x} . x = \ln x + 1$

$y^{″} = {(\ln x + 1)}^{'} = {(\ln x)}^{'} + 1^{'} = \frac{1}{x}$