Bài 7.11 trang 47

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) $y=2^x-5^x$

b) $y=\sqrt{x+3}$

c) $y=x\ln x$

Lời giải chi tiết

a) $y^{\prime }={\left(2^x-5^x\right)}^{\prime }=2^x\ln 2-5^x\ln 5$

$y^{\prime \prime }={\left(2^x\ln 2-5^x\ln 5\right)}^{\prime }=2^x\ln 2.\ln 2-5^x\ln 5.\ln 5=2^x{\ln }^{2}2-5^x{\ln }^{2}5$

b) $y^{\prime }={\sqrt{x+3}}^{\prime }=\frac{{\left(x+3\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x+3}}=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

$y^{\prime \prime }=\frac{1^{\prime }.2\sqrt{x+3}-{\left(2\sqrt{x+3}\right)}^{\prime }.1}{{\left(2\sqrt{x+3}\right)}^2}=\frac{-2.{\left(x+3\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x+3}}.\frac{1}{4\left(x+3\right)}=\frac{-1}{4\left(x+3\right)\sqrt{x+3}}$

c) $y^{\prime }={\left(x\ln x\right)}^{\prime }=x^{\prime }.\ln x+{\left(\ln x\right)}^{\prime }.x=\ln x+\frac{1}{x}.x=\ln x+1$

$y^{\prime \prime }={\left(\ln x+1\right)}^{\prime }={\left(\ln x\right)}^{\prime }+1^{\prime }=\frac{1}{x}$