Bài 7.16 trang 53

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) $\perp$  (ABC) và (SAH) $\perp$ (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}={30}^o$, $AC=a$, $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Lời giải chi tiết

a) $SA\perp \left(ABC\right)$, $SA\subset \left(SAB\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$.

$\begin{array}{c}AH\perp BC\\ SA\perp BC\left(SA\perp \left(ABC\right)\right)\\ AH\cap SA=\left\{A\right\}\end{array}\}$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAH\right)$, mà $BC\subset \left(SBC\right)$

$\Rightarrow \left(SAH\right)\perp \left(SBC\right)$.

b) Ta có $AH\perp BC$, $BC\perp SH$ $\left(BC\perp \left(SAH\right)\right)$

$\Rightarrow \left[S,BC,A\right]=\left(SH,AH\right)=\widehat{SHA}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\widehat{ABC}={30}^o\Rightarrow \widehat{ACH}={60}^o$.

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

$\sin \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=a.\sin {60}^o=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác SHA vuông tại A có:

$\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2}=1$

$\Rightarrow \widehat{SHA}={45}^o$.

Vậy $\left[S,BC,A\right]={45}^o$.