Bài 7.17 trang 53

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC′A′) $\perp$ (BDD′B′).

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat{CO{C}^{\prime }}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+a^2=2a^2$

$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

$A^{\prime }{C}^2=A{A}^{\prime 2}+A{C}^2=a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2=3a^2$

$\Rightarrow A^{\prime }C=a\sqrt{3}$.

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương bằng $a\sqrt{3}$.

b) Ta có $BD\perp AC$, $BD\perp A{A}^{\prime }\Rightarrow BD\perp \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$,

Mà $BD\subset \left(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\perp \left(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$.

c) Ta có $C^{\prime }O\perp BD$ $\left(BD\perp \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\right)$, $CO\perp BD$

$\Rightarrow \left[C,BD,C^{\prime }\right]=\left(CO,C^{\prime }O\right)=\widehat{CO{C}^{\prime }}$.

$OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác COC’ vuông tại C có:

$\tan \widehat{CO{C}^{\prime }}=\frac{C{C}^{\prime }}{OC}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \widehat{CO{C}^{\prime }}=\arctan \sqrt{2}$.

Ta có $C^{\prime }O\perp BD$ $\left(BD\perp \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\right)$, $AO\perp BD$

$\Rightarrow \left[A,BD,C^{\prime }\right]=\left(AO,C^{\prime }O\right)=\widehat{AO{C}^{\prime }}$.

$\widehat{AO{C}^{\prime }}={180}^o-\widehat{CO{C}^{\prime }}\approx 125,{26}^o$.