Bài 7.24 trang 59

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có $\begin{array}{c}BN\perp CD\\ AG\perp CD\end{array}\}\Rightarrow CD\perp \left(ABN\right)\Rightarrow CD\perp MN$ (1)

Vì BN, AN lần lượt là 2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều cạnh a nên BN = AN.

Do đó tam giác ABN cân tại N mà M là trung điểm AB $\Rightarrow AB\perp MN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Ta có $\begin{array}{c}CD\perp \left(ABN\right)\\ AB\subset \left(ABN\right)\end{array}\}\Rightarrow CD\perp AB$.

Chứng minh tương tự ta được $BC\perp AD$, $BD\perp AC$.

Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.