Bài 7.25 trang 59

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hai mặt phẳng song song nếu 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia.

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết

a) AC // A’C’, D’C // A’B $\Rightarrow$ (D'AC) // (BC'A').

Ta có $A C ⊥ B D$ , $A C ⊥ B B^{'} \Rightarrow A C ⊥ (B D B^{'})$ , $B^{'} D \subset (B D B^{'}) \Rightarrow A C ⊥ B^{'} D$ .

Mà AC // A’C’ $\Rightarrow B^{'} D ⊥ A^{'} C^{'}$ .

Ta có $A B^{'} ⊥ A^{'} B$ , $A D ⊥ A^{'} B \Rightarrow A^{'} B ⊥ (A B^{'} D)$ , $B^{'} D \subset (A B^{'} D) \Rightarrow A^{'} B ⊥ B^{'} D$ .

Mà A’B // D’C $\Rightarrow$ $B^{'} D ⊥ D^{'} C$ .

Ta có $B^{'} D ⊥ A C$ , $B^{'} D ⊥ D^{'} C \Rightarrow B^{'} D ⊥ (D^{'} A C)$ .

$B^{'} D ⊥ A^{'} C^{'}$ , $B^{'} D ⊥ A^{'} B \Rightarrow B^{'} D ⊥ (B A^{'} C^{'})$ .

b) Gọi $A C \cap B D = {O}$ , $A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'} = {O^{'}}$ .

Trong (BB’D’D) nối $D^{'} O \cap B^{'} D = {E}$ , $B O^{'} \cap B^{'} D = {F}$ .

Vì (D'AC) // (BC'A') nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF do $B^{'} D ⊥ (B A^{'} C^{'})$ .

$\begin{array}{l} B^{'} D ⊥ B O^{'} (B^{'} D ⊥ (B A^{'} C^{'})) \\ B^{'} D ⊥ O D^{'} (B^{'} D ⊥ (D^{'} A C)) \end{array}} \Rightarrow B O^{'} / / O D^{'}$ .

Áp dụng định lí Thales có:

$\frac{D E}{E F} = \frac{D O}{B O} = 1 \Rightarrow D E = E F$ ;

$\frac{B^{'} F}{E F} = \frac{B^{'} O^{'}}{O^{'} D^{'}} = 1 \Rightarrow B^{'} F = E F \Rightarrow E F = \frac{B^{'} D}{3}$ .

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

$B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác BB’D vuông tại B có:

$B^{'} D = \sqrt{B {B^{'}}^{2} + B D^{2}}$

$= \sqrt{a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = a \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow E F = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy $d ((D^{'} A C), (B C^{'} A^{'})) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .