Bài 7.30 trang 63

Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${60}^o$.

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${45}^o$.

Lời giải chi tiết

a)

 

Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$ mà S.ABCD đều nên $SO\perp \left(ABCD\right)$.

$\Rightarrow$ O là hình chiếu của S trên (ABCD).

C là hình chiếu của C trên (ABCD).

$\Rightarrow$ OC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

$\Rightarrow$ (SC, (ABCD)) = (SC, OC) $=\widehat{SCO}$.

Mà cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${60}^o$.

$\Rightarrow \widehat{SCO}={60}^o$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$

$=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ $\left(cm\right)$.

$\Rightarrow OC=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ $\left(cm\right)$.

Xét tam giác SOC vuông tại O có:

$\tan \widehat{SCO}=\frac{SO}{OC}$

$\Rightarrow SO=3\sqrt{2}.\tan {60}^o=3\sqrt{6}$ (cm).

$S_{ABCD}=6^2=36$ $\left(c{m}^2\right)$.

Vậy khối chóp có thể tích:

$V=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.3\sqrt{6}.36=36\sqrt{6}$ $\left(c{m}^3\right)$

b)

 

Trong (ABCD) kẻ $OE\perp CD$.

$SO\perp CD\left(SO\perp \left(ABCD\right)\right)$.

$\Rightarrow CD\perp \left(SOE\right)$, $SE\subset \left(SOE\right)$.

$\Rightarrow CD\perp SE$, $OE\perp CD$, $\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD$.

$\Rightarrow \left(\left(SCD\right),\left(ABCD\right)\right)=\left(SE,OE\right)=\widehat{SEO}$.

Mà mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${45}^o\Rightarrow \widehat{SEO}={45}^o$.

Ta có $\begin{array}{c}OE\perp CD\\ AD\perp CD\end{array}\}\Rightarrow OE//AD$ mà O là trung điểm AC nên OE là đường trung bình tam giác ACD.

$\Rightarrow OE=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3$ (cm).

Xét tam giác SOE vuông tại O có:

$\tan \widehat{SEO}=\frac{SO}{OE}\Rightarrow SO=3.\tan {45}^o=3$ (cm).

Vậy khối chóp có thể tích:

$V=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.3.36=36$ $\left(c{m}^3\right)$.