Bài 7.31 trang 63

Đề bài

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

 

Vì hình chóp A’.ABC có A'A = A'B = A'C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A’.ABC đều.

Gọi F là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên F là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó F cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AF cắt BC tại D.

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Mà F là trọng tâm nên $AF=\frac{2}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác A’AF vuông tại F có:

$A^{\prime }F=\sqrt{A^{\prime }{A}^2-A{F}^2}$

$=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$.

Diện tích tam giác đều ABC là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích khối lăng trụ là:

$V=A^{\prime }F.S=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.