Bài 7.38 trang 65

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và (OA = a,OB = asqrt 2 ) và (OC = 2a).

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $O A = a, O B = a \sqrt{2}$ và $O C = 2 a$ . Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(A B C)$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Lời giải chi tiết

Ta có $O A ⊥ O B, O A ⊥ O C \Rightarrow O A ⊥ (O B C); B C \subset (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C$

Trong (OBC) kẻ $O D ⊥ B C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C ⊥ (O A D); B C \subset (A B C) \Rightarrow (O A D) ⊥ (A B C) \\ (O A D) \cap (A B C) = A D \end{array}$

Trong (OAD) kẻ $O E ⊥ A D$

$\Rightarrow O E ⊥ (A B C) \Rightarrow d (O, (A B C)) = O E$

Xét tam giác OBC vuông tại O có

$\frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{{(a \sqrt{2})}^{2}} + \frac{1}{{(2 a)}^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}} \Rightarrow O D = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác OAD vuông tại O có

$\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(\frac{2 a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{7}{4 a^{2}} \Rightarrow O E = \frac{2 a \sqrt{7}}{7}$

Vậy $d (O, (A B C)) = \frac{2 a \sqrt{7}}{7}$