Bài 7.39 trang 65

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại (A)

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại $A$ , tam giác BCD cân tại $D$ . Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng $B C ⊥ (A I D)$ .

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng $A H ⊥ (B C D)$ .

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

- Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc vào giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

- Đường thẳng $Δ$ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC cân tại A có

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow A I ⊥ B C$

Xét tam giác ACD cân tại D có

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow D I ⊥ B C$

Ta có $A I ⊥ B C, D I ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A I D)$

b) $B C ⊥ (A I D); B C \subset (B C D) \Rightarrow (B C D) ⊥ (A I D)$

$(B C D) \cap (A I D) = D I$

Trong (AID) có $A H ⊥ D I$

$\Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

c) Ta có $B C ⊥ (A I D); I J \subset (A I D) \Rightarrow B C ⊥ I J$

Mà $I J ⊥ A D$

Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC