Bài 7.40 trang 65

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và $\widehat{CAB}={30}^o$. Biết $SA\perp \left(ABC\right)$ và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh rằng $\left(SBC\right)\perp \left(SAB\right)$.

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải chi tiết

 

a) $SA\perp BC$ (vì $\left(SA\perp \left(ABC\right)\right)$) và $AB\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Mà $BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAB\right)$.

b) Trong (SAC) kẻ $AD\perp SC\Rightarrow d\left(A,SC\right)=AD$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$\sin \widehat{CAB}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow AC=\frac{a}{\sin {30}^o}=2a$.

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

$\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

$=\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(2a\right)}^2}=\frac{3}{4a^2}$

$\Rightarrow AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Do đó $d\left(A,SC\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

$\left(SAB\right)\perp \left(SBC\right)$, $\left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=SB$.

Trong (SAB) kẻ $AE\perp SB$.

$\Rightarrow AE\perp \left(SBC\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AE$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$\tan \widehat{CAB}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow AB=\frac{a}{\tan {30}^o}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$

$=\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{5}{6a^2}$

$\Rightarrow AE=\frac{a\sqrt{30}}{5}$.

Vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{30}}{5}$.