Bài 7.41 trang 65

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại $S$ và $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)$.

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAD) kẻ $SE\perp AD$

Mà $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right),\left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD\Rightarrow SE\perp \left(ABCD\right)$

Xét tam giác SAD vuông cân tại S có

$SE\perp AD$

$\Rightarrow$ E là trung điểm của AD

$\Rightarrow SE=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$

Diện tích hình vuông ABCD là $S_{ABCD}=a^2$

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SE.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.a^2=\frac{a^3}{6}$

b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà $AB\perp BC\Rightarrow EF\perp BC$

mà $SE\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SEF\right);BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow \left(SEF\right)\perp \left(SBC\right)$

$\left(SEF\right)\cap \left(SBC\right)=SF$

Trong (SEF) kẻ $EG\perp SF$

$\Rightarrow EG\perp \left(SBC\right)$

Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

$\Rightarrow d\left(AD,SC\right)=d\left(AD,\left(SBC\right)\right)=d\left(E,\left(SBC\right)\right)=EG$

Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a

Xét tam giác SEF vuông tại E có

$\frac{1}{E{G}^2}=\frac{1}{S{E}^2}+\frac{1}{E{F}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow EG=\frac{a\sqrt{5}}{5}$

Vậy $d\left(AD,SC\right)=\frac{a\sqrt{5}}{5}$