Bài 7.42 trang 65

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a, A A^{'} ⊥ (A B C D)$ và $\hat{B A D} = 60^{0}$ .

a) Tính thể tích của khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A^{'} B D)$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.

- Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Lời giải chi tiết

a) Diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác BCD vì chung đáy BD và chiều cao AO = OC (ABCD là hình thoi)

Diện tích tam giác ABD: $S_{A B D} = \frac{1}{2} A B . A D . \sin \hat{B A D} = \frac{1}{2} a . a . \sin 60^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow S = 2 S_{A B D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối hộp là $V = A A^{'} . S_{A B C D} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

b) Gọi $A C \cap B D = {O}$

Ta có $A A^{'} ⊥ B D, A O ⊥ B D \Rightarrow B D ⊥ (A^{'} A O); B D \subset (A^{'} B D) \Rightarrow (A^{'} A O) ⊥ (A^{'} B D)$

$(A^{'} A O) \cap (A^{'} B D) = A^{'} O$

Trong (A’AO) kẻ $A E ⊥ A^{'} O$

$\Rightarrow A E ⊥ (A^{'} B D) \Rightarrow d (A, (A^{'} B D)) = A E$

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\hat{B A D} = 60^{0}$ nên tam giác ABD đều

$\Rightarrow O A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AOA’ vuông tại A có

$\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{A {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}} \Rightarrow A E = \frac{a \sqrt{21}}{7}$

Vậy $d (A, (A^{'} B D)) = \frac{a \sqrt{21}}{7}$