Bài 7.42 trang 65

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a,A{A}^{\prime }\perp \left(ABCD\right)$ và $\widehat{BAD}={60}^0$.

a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }BD\right)$.

Lời giải chi tiết

 

a) Diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác BCD vì chung đáy BD và chiều cao AO = OC (ABCD là hình thoi)

Diện tích tam giác ABD: $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{1}{2}a.a.\sin {60}^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow S=2S_{ABD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối hộp là $V=A{A}^{\prime }.S_{ABCD}=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

b) Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$

Ta có $A{A}^{\prime }\perp BD,AO\perp BD\Rightarrow BD\perp \left(A^{\prime }AO\right);BD\subset \left(A^{\prime }BD\right)\Rightarrow \left(A^{\prime }AO\right)\perp \left(A^{\prime }BD\right)$

$\left(A^{\prime }AO\right)\cap \left(A^{\prime }BD\right)=A^{\prime }O$

Trong (A’AO) kẻ $AE\perp A^{\prime }O$

$\Rightarrow AE\perp \left(A^{\prime }BD\right)\Rightarrow d\left(A,\left(A^{\prime }BD\right)\right)=AE$

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat{BAD}={60}^0$ nên tam giác ABD đều

$\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AOA’ vuông tại A có

$\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{A{A^{\prime }}^2}+\frac{1}{O{A}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{7}{3a^2}\Rightarrow AE=\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Vậy $d\left(A,\left(A^{\prime }BD\right)\right)=\frac{a\sqrt{21}}{7}$