Bài 7.43 trang 65

Đề bài

Cho hình lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Biết $A^{'} . A B C D$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$ . Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và thể tích của khối chóp $A^{'} . B B^{'} C^{'} C$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích khối lăng trụ $V = h . S$

Lời giải chi tiết

Gọi $A C \cap B D = {O}$ mà A’.ABCD là hình chóp đều nên $A^{'} O ⊥ (A B C D)$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

$\Rightarrow O A = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác A’AO vuông tại O có

$A^{'} O = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$S_{A B C D} = a^{2}$

Vậy khối chóp có thể tích $V_{c h ó p} = \frac{1}{3} A^{'} O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

Nếu hình lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp $A^{'} . B B^{'} C^{'} C$ bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối lăng trụ là $V_{l ă n g t r ụ} = 3. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2} .$