Bài 7.43 trang 65

Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $A^{\prime }.ABCD$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và thể tích của khối chóp $A^{\prime }.B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$.

Lời giải chi tiết

 

Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$ mà A’.ABCD là hình chóp đều nên $A^{\prime }O\perp \left(ABCD\right)$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác A’AO vuông tại O có

$A^{\prime }O=\sqrt{A{A^{\prime }}^2-A{O}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABCD}=a^2$

Vậy khối chóp có thể tích $V_{chóp}=\frac{1}{3}{A}^{\prime }O.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$

Nếu hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp $A^{\prime }.B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối lăng trụ là $V_{lăngtrụ}=3.\frac{a^3\sqrt{2}}{6}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}.$