Bài 7.44 trang 65

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AB//CD$ và $AB=BC=DA=a$, $CD=2a$. Biết hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải chi tiết

 

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Mà $\left(SAC\right)$ và $\left(SBD\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$ nên $SO\perp \left(ABCD\right)$

Kẻ $AK\perp DC$ tại K $\Rightarrow DK=\frac{DC-AB}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác ADK vuông tại K có

$AK=\sqrt{A{D}^2-D{K}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác AKC vuông tại K có

$AC=\sqrt{A{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}=a\sqrt{3}$

Ta có AB // CD nên $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{DC}=\frac{1}{2}\Rightarrow OA=\frac{1}{3}AC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác SAO vuông tại O có

$SO=\sqrt{SA{}^2-A{O}^2}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Diện tích đáy ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD).AK=\frac{1}{2}(a+2a).\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{3}.\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{5}}{4}$