Bài 7.6 trang 45

Tính đạo hàm các hàm số sau:

Đề bài

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y = x^{4} + 3 x^{3} - 2 \sqrt{x}$ .

b) $y = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1}$ .

c) $y = (x^{2} + 1) . \cot x$ .

d) $y = e^{x} . \log_{2} x$ .

e) $y = \sqrt{2^{x} + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức $(x^{n})^{'} = n . x^{n - 1}$ , $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

b) Sử dụng quy tắc $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} . v - u . v^{'}}{v^{2}}$ .

c) Sử dụng quy tắc $(u . v)^{'} = u^{'} v + u . v^{'}$ .

d) Sử dụng quy tắc $(u . v)^{'} = u^{'} v + u . v^{'}$ .

e) Sử dụng đạo hàm của hàm hợp $(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = (x^{4} + 3 x^{3} - 2 \sqrt{x})^{'} = 4 x^{3} + 9 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

b) Ta có: $y^{'} = (\frac{x^{2} + 2 x + 2}{x + 1})^{'} = \frac{(x^{2} + 2 x + 2)^{'} . (x + 1) - (x^{2} + 2 x + 2) . (x + 1)^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$\frac{(2 x + 2) . (x + 1) - (x^{2} + 2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2. (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} + 2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

c) Ta có: $y^{'} = [(x^{2} + 1) . \cot x]^{'} = (x^{2} + 1)^{'} . \cot x + (x^{2} + 1) . (\cot x)^{'}$

$= 2 x . \cot x + (x^{2} + 1) . \frac{- 1}{\sin^{2} x}$ .

d) Ta có: $y^{'} = (e^{x} . \log_{2} x)^{'} = (e^{x})^{'} . \log_{2} x + e^{x} . (\log_{2} x)^{'} = e^{x} . \log_{2} x + e^{x} . \frac{1}{x . \ln 2}$ .

e) Ta có: $y^{'} = (\sqrt{2^{x} + 1})^{'} = \frac{(2^{x} + 1)^{'}}{2 \sqrt{2^{x} + 1}} = \frac{2^{x} . \ln 2}{2 \sqrt{2^{x} + 1}}$ .