Bài 7.7 trang 36

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ( bot ) (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA $⊥$ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM $⊥$ (SBC), AN $⊥$ (SCD), SC $⊥$ (AMN).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

- Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} B C ⊥ A B (h c n A B C D) \\ B C ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \\ A B \cap S A = {A} \end{array}}$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ , mà $A M \subset (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A M$ .

$\begin{array}{l} C D ⊥ A D (h c n A B C D) \\ C D ⊥ S A (S A ⊥ (A B C D)) \\ A D \cap S A = {A} \end{array}}$

$\Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ , mà $A N \subset (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A N$ .

$\begin{array}{l} A M ⊥ S B \\ A M ⊥ B C \\ S B \cap B C = {B} \end{array}}$

$\Rightarrow A M ⊥ (S B C)$ , mà $S C \subset (S B C) \Rightarrow S C ⊥ A M$ .

$\begin{array}{l} A N ⊥ S D \\ A N ⊥ C D \\ S D \cap C D = {D} \end{array}}$

$\Rightarrow A N ⊥ (S C D)$ , mà $S C \subset (S C D) \Rightarrow S C ⊥ A N$ .

$\begin{array}{l} A M ⊥ S C \\ A N ⊥ S C \\ A M \cap A N = {A} \end{array}} \Rightarrow S C ⊥ (A M N)$ .