Bài 7. Các khái niệm mở đầu

Giải bài 4.1 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

a)      Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) cùng phương.

b)     Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) cùng hướng.

c)      Hai vectơ \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) ngược hướng.

d)     Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng ba lần độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MG} \).

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) có: \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \,\,AG = \frac{2}{3}GM.\)

mặt khác \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GM} \) ngược hướng

nên \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)

Vậy khẳng định a,c,d là khẳng định đúng còn khẳng định b là khẳng định sai.

Giải bài 4.2 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho trước hai vectơ không cùng hướng \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Hỏi có hay không một vectơ cùng phương với cả \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)?

Lời giải chi tiết

Có một vectơ cùng phương với cả \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là vectơ \(\overrightarrow 0 \) vì vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với mọi vectơ.

Giải bài 4.3 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) cùng phương và cùng khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng có ít nhất hai vectơ trong chúng có cùng hướng.

Lời giải chi tiết

Với hai vector khác vector \(\overrightarrow 0 \), cùng phương thì chúng cùng hướng, hoặc chúng ngược hướng. Từ đó, nếu \(\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow b \)và \(\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì hai vector \(\overrightarrow b \)và \(\overrightarrow c \) cùng hướng.

Giải bài 4.4 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\).

a)  Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} \).

b)  Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

a) Các vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là: \(\overrightarrow {OA} ,\) \(\overrightarrow {AO} ,\) \(\overrightarrow {OD} ,\) \(\overrightarrow {DO} ,\) \(\overrightarrow {AD} ,\) \(\overrightarrow {DA} ,\) \(\overrightarrow {BC} ,\) \(\overrightarrow {CB} ,\) \(\overrightarrow {EF} ,\) \(\overrightarrow {FE} .\)

b) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AB} ,\) \(\overrightarrow {FO} ,\) \(\overrightarrow {OC} ,\) \(\overrightarrow {ED} .\)

Giải bài 4.5 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không vuông, với trực tâm \(H\), nội tiếp đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(AA'\) của đường tròn \((O)\).

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \).

Lời giải chi tiết

a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\) (1)

Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\) // \(A'C\) và \(A'B\) // \(CH\).

Xét tứ giác \(A'BHC\) có: \(BH\) // \(A'C\) và \(A'B\) // \(CH\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(A'BHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)

b) Ta có: Tứ giác \(A'BHC\) là hình bình hành nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\).

Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\).

\(O\) là trung điểm của \(AA'\).

\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\).

\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\).

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} \).

Giải bài 4.6 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên biển Đông, một tàu chuyển động đều từ vị trí \(A\) theo hướng \(N{20^ \circ }E\) với vận tốc 20 km/h. Sau 2 giờ, tàu đến được vị trí \(B.\) Hỏi \(A\) cách \(B\) bao nhiêu ki lô mét và về hướng nào so với \(B\)?

Lời giải chi tiết

Quãng đường từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) là: \(AB = 2.20 = 40\) km.

Do \(B\) ở hướng \(N{20^ \circ }E\) so với \(A,\) nên \(A\) ở hướng \(S{20^ \circ }W\) so với \(B.\)