Bài 7. Cấp số nhân

Giải bài 2.21 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) ;                                     

b) ;

Lời giải chi tiết

a) Từ suy ra

Do đó,

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với và công bội

b) Từ suy ra

Do đó,

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với và công bội

Giải bài 2.22 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64; -32; 16; -8;…

Lời giải chi tiết

Do cấp số nhân có \({u_1} = 6\) và công bội \(q = \frac{{ - 32}}{{64}} = \frac{{ - 1}}{2}\) nên số hạng thứ 10 của cấp số nhân là: \({u_{10}} = {u_1}.{q^9} = \frac{{ - 1}}{8}\)

Giải bài 2.23 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho một cấp số nhân với tất cả các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{125}{64}$. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Lời giải chi tiết

Giả sử rằng các số hạng của cấp số nhân đều là số dương.

Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{c}{u}_4=125\\ u_{10}=\frac{125}{64}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1.q^3=125\\ u_1.q^9=\frac{125}{64}\end{array}$

Chia vế theo vế của hai phương trình ta có: $q^6=\frac{1}{64}\iff q=\pm \frac{1}{2}$.

Với $q=\frac{1}{2}$ ta có $u_1=1000\Rightarrow u_{14}=u_1.q^{13}=\frac{125}{1024}$.

Với $q=-\frac{1}{2}$ ta có $u_1=-1000$ (loại).

Vậy $u_{14}=\frac{125}{1024}$.

Giải bài 2.24 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm x sao cho là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Vì là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên

Thử lại, ta có ba số -4; -2; -1 thỏa mãn bài toán. Vậy

Giải bài 2.25 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính các tổng sau:

a) \(1 + 4 + 16 + 64 + ... + {4^9}\)                                

b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta nhận thấy các số hạng của tổng là cấp số nhân với \({u_1} = 1,\) công bội \(q = 4\) và có 10 số hạng. Vậy \(1 + 4 + 16 + 64 + ... + {4^9} = 1.\frac{{1 - {4^{10}}}}{{1 - 4}} = 349\;525\)

b) Ta nhận thấy các số hạng của tổng là cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{3},\) công bội \(q = 2\) và có 13 số hạng. Vậy \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + ... + \frac{{{2^{12}}}}{3} = \frac{1}{3}.\frac{{1 - {2^{13}}}}{{1 - 2}} = \frac{{8\;191}}{3}\)

Giải bài 2.26 trang 39 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người bị nhiễm căn bệnh này?

Lời giải chi tiết

Gọi \({u_n}\) là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n. Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số (\({u_n}\)) là một cấp số nhân với \({u_1} = 5\) và công bội \(q = 4\). Suy ra, đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, số người bị lây bởi căn bệnh này là:

\({u_{10}} = {u_1}.{q^9} = {5.4^9} = 1\;310\;720\) (người).

Giải bài 2.27 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Lời giải chi tiết

Gọi là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n. Vì kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số () là một cấp số nhân với và công bội . Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương của người kĩ sư đó là: (triệu đồng)

Giải bài 2.28 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hằng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích lũy được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Lời giải chi tiết

Gọi là số triệu đồng mà cô Hoa có trong chương trình tích lũy gửi lần thứ n (vào đầu tháng thứ n). Kí hiệu triệu đồng,

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là:

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là:

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là:

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là:

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích lũy được số tiền là:

(triệu đồng)

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là: tuổi

Giải bài 2.29 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Lời giải chi tiết

Gọi là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n. Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là nên và độ dài của cạnh hình vuông sau đó là

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là nên

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là nên ’

Như vậy, dãy số () là cấp số nhân với và công bội

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

Giải bài 2.30 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số q và q, nếu ta tìm được k số khác sao cho lập thành một cấp số nhân, thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy:

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có và

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là 3; 6; 12; 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có và

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

Với , chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân là 2,25; 9; 36; 144, 476.

Với , chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân là 2,25; -9; 36; -144, 476.