Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Giải bài 2.16 trang 48 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật . Có thể lập hệ tọa độ thỏa mãn một trong các điều kiện sau hay không? Giải thích vì sao.

a) Gốc trùng với đỉnh , mặt phẳng trùng với mặt phẳng .

b) Mặt phẳng trùng với mặt phẳng và mặt phẳng trùng với mặt phẳng .

c) Mặt phẳng trùng với mặt phẳng , trục trùng với đường thẳng .

Lời giải chi tiết

a) Ta có gốc trùng với đỉnh , mặt phẳng trùng với mặt phẳng

 suy ra , điều này là vô lý. Vậy không thể lập hệ tọa độ thỏa mãn yêu cầu.

b) Ta có mà không vuông góc với , do đó không thể lập hệ tọa độ thỏa mãn yêu cầu.

c) Ta có thể chọn hệ trục với gốc trùng với , tia trùng với , tia trùng với và tia trùng với .

 

Giải bài 2.17 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), xác định tọa độ của điểm \(A\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(A\) nằm trên tia \(Oy\) và \(OA = 3\);

b) \(A\) nằm trên tia đối của tia \(Oz\) và \(OA = 5\);

c) \(A\) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), khoảng cách từ \(A\) đến \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt là \(5\) và \(8\).

Lời giải chi tiết

a) Do \(A\) thuộc tia \(Oy\) nên \(A\left( {0;a;0} \right)\) với \(a \ge 0\). Ta có \(OA = 3 \Leftrightarrow a = 3\). Vậy \(A\left( {0;3;0} \right)\).

b) Do \(A\) nằm trên tia đối của tia \(Oz\) nên \(A\left( {0;0;a} \right)\) với \(a \le 0\). Ta có \(OA = 5 \Leftrightarrow a =  - 5\).

Vậy \(A\left( {0;0; - 5} \right)\).

c) Ta có \(A\) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) do đó \(A\left( {x;y;0} \right)\) với \(x;y \ge 0\). Mặt khác \(d\left( {A,Ox} \right) = 5 \Leftrightarrow y = 5\); \(d\left( {A,Oy} \right) = 8 \Leftrightarrow x = 8\).

Vậy \(A\left( {8;5;0} \right)\).

Giải bài 2.18 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , xác định tọa độ của vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) ;

b)

c) ;

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

b) Ta có.

c) Ta có .

Giải bài 2.19 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {4;5; - 1} \right)\), \(B\left( {2;5; - 1} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \),  từ đó suy ra đường thẳng AB song song với trục Ox.

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OC} \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó suy ra điểm C thuộc tia \(Oz\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 4;5 - 5; - 1 + 1} \right) = \left( { - 2;0;0} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow i \) do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow i \) cùng phương vì vậy giá của chúng song song hay đường thẳng \(AB\) song song với trục \(Ox\).

b) Ta có \(\overrightarrow {OC}  = \left( {0;0;3} \right) = 3\overrightarrow k \) suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow k \) cùng hướng. Vì vậy C thuộc tia \(Oz\).

Giải bài 2.20 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác có , và điểm thuộc tia sao cho .

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ các điểm và .

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm thuộc tia nên tung độ và cao độ của đều là 0, mà do đó . Suy ra .

b) Ta có . Giả sử khi đó .

Vì tứ giác là hình bình hành nên suy ra .

Do đó . Tương tự giả sử khi đó .

Do suy ra . Do đó .

Vậy , và .

Giải bài 2.21 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 5 và độ dài cạnh đáy bằng 4. Hãy xác định tọa độ các điểm đối với hệ tọa độ có gốc trùng với tâm của hình vuông , tia chứa , tia chứa và tia chứa .

Lời giải chi tiết

Ta có thuộc tia và nên .

Do là hình vuông cạnh nên .

Ta có thuộc tia và suy ra ; thuộc tia đối của tia và suy ra .

Tương tự có thuộc tia và suy ra ; thuộc tia đối của tia và suy ra .

Vậy , , , và .

Giải bài 2.22 trang 49 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh trùng với gốc và các đỉnh có tọa độ lần lượt là , , . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài, ta có thuộc tia , thuộc tia và thuộc tia .

Ta có :

.

.

.

.

Vậy , , và .

Giải bài 2.23 trang 50 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.

a) Có thể thiết lập một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) là chân cột cờ, hai trục \(Ox,Oy\) lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia \(Oz\) trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.

b) Giả sử cột cờ có chiều cao 1,5 m. Hãy xác định tọa độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).

Lời giải chi tiết

a) Ta có thể thiết lập hệ trục tọa độ như vậy.

Vì cột cờ vuông góc với mặt sân nên cột cờ cũng vuông góc với hai vạch kẻ sơn, hơn nữa hai vạch kẻ sơn cũng vuông góc với nhau.

b) Vì điểm đầu cột cờ thuộc tia \(Oz\) và cột cờ có chiều cao 1,5 m nên tọa độ của điểm đầu cột cờ là \(\left( {0;0;1,5} \right)\).

Giải bài 2.24 trang 50 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí của một giàn khoan trên mặt biển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt biển với trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.

a) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng \(\left( {x;y;z} \right)\) với \(z \le 0\).

b) Khi nào thì tọa độ của chiếc tàu ngầm là \(\left( {x;y;0} \right)\)?

Lời giải chi tiết

a) Tàu ngầm luôn nằm dưới mặt nước biển hoặc nằm ngang mực nước biển, vì vậy cao độ của tàu ngầm không lớn hơn 0.

Do đó tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng \(\left( {x;y;z} \right)\)với \(z \le 0\).

b) Tọa độ của tàu ngầm là \(\left( {x;y;0} \right)\) khi tàu nổi trên mặt nước.