Bài 7 trang 115

Đề bài

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/$m^3$ . Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O,O^{\prime }$ là tâm của hai đáy. Vậy $AB=5,A^{\prime }{B}^{\prime }=2,C{C}^{\prime }=3$.

$ABCD$ là hình vuông

$\Rightarrow AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=5\sqrt{2}\Rightarrow CO=\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông $\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow C^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{2}$

Kẻ $C^{\prime }H\perp OC\left(H\in OC\right)$

$OH{C}^{\prime }{O}^{\prime }$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH=O^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{2},O{O}^{\prime }=C^{\prime }H\Rightarrow CH=OC-OH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Delta C{C}^{\prime }H$ vuông tại $H\Rightarrow C^{\prime }H=\sqrt{CC{}^{\prime 2}-C{H}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow O{O}^{\prime }=C^{\prime }H=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Diện tích đáy lớn là: $S=A{B}^2=5^2=25\left(m^2\right)$

Diện tích đáy bé là: $S^{\prime }=A^{\prime }B{}^{\prime 2}=2^2=4\left(m^2\right)$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime }\right)=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(25+\sqrt{25.4}+4\right)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\left(m^3\right)$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: $\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40538432$ (đồng).