Bài 7 trang 117
Cho hình lăng trụ tam giác đều (ABC.A'B'C') có tất cả các cạnh bằng (a). Gọi (M) là trung điểm của (AB) (Hình 100).
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng aa. Gọi MM là trung điểm của ABAB (Hình 100).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng ABAB và B′C′B′C′.
b) Tính góc giữa đường thẳng A′BA′B và mặt phẳng (ABC)(ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B,CC′,M][B,CC′,M].
d) Chứng minh rằng CC′∥(ABB′A′)CC′∥(ABB′A′). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC′CC′ và mặt phẳng (ABB′A′)(ABB′A′).
e) Chứng minh rằng CM⊥(ABB′A′)CM⊥(ABB′A′). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC′CC′ và A′MA′M.
g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ và thể tích khối chóp A′.MBCA′.MBC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng aa và bb:
Bước 1: Lấy một điểm OO bất kì.
Bước 2: Qua điểm OO dựng đường thẳng a′∥aa′∥a và đường thẳng b′∥bb′∥b.
Bước 3: Tính (a,b)=(a′,b′)(a,b)=(a′,b′).
b) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
c) Cách xác định góc nhị diện [P1,d,Q1][P1,d,Q1]
Bước 1: Xác định c=(P1)∩(Q1)c=(P1)∩(Q1).
Bước 2: Tìm mặt phẳng (R)⊥c(R)⊥c.
Bước 3: Tìm p=(R)∩(P1),q=(R)∩(Q1),O=p∩q,M∈p,N∈qp=(R)∩(P1),q=(R)∩(Q1),O=p∩q,M∈p,N∈q.
Khi đó [P1,d,Q1]=^MON[P1,d,Q1]=ˆMON.
d) ‒ Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
e) ‒ Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng.
‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.
Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.
g) ‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V=ShV=Sh.
‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: V=13ShV=13Sh.
Lời giải chi tiết
a) BCC′B′BCC′B′ là hình chữ nhật ⇒BC∥B′C′⇒BC∥B′C′
⇒(AB,B′C′)=(AB,BC)=^ABC=60∘⇒(AB,B′C′)=(AB,BC)=ˆABC=60∘.
b)
ΔAA′BΔAA′B vuông tại A⇒tan^ABA′=AA′AB=aa=1⇒^ABA′=45∘A⇒tanˆABA′=AA′AB=aa=1⇒ˆABA′=45∘
Vậy (A′B,(ABC))=45∘(A′B,(ABC))=45∘.
c) CC′⊥(ABC)⇒CC′⊥BC,CC′⊥CMCC′⊥(ABC)⇒CC′⊥BC,CC′⊥CM
Vậy ^BCMˆBCM là góc nhị diện [B,CC′,M][B,CC′,M].
ΔABCΔABC đều ⇒^BCM=12^ACB=30∘⇒ˆBCM=12ˆACB=30∘.
d) SA⊥(ABC)⇒SA⊥CMSA⊥(ABC)⇒SA⊥CM
ΔABCΔABC đều ⇒CM⊥AB⇒CM⊥AB.
⇒CM⊥(ABB′A′)⇒CM⊥(ABB′A′)
ΔABCΔABC đều ⇒CM=AB√32=a√32⇒CM=AB√32=a√32.
CC′∥AA′AA′⊂(ABB′A′)}⇒CC′∥(ABB′A′)
⇒d(CC′,(ABB′A′))=d(C,(ABB′A′))=CM=a√32
e) SA⊥(ABC)⇒SA⊥CM
ΔABC đều ⇒CM⊥AB.
⇒CM⊥(ABB′A′)⇒CM⊥A′M
CC′⊥(ABC)⇒CC′⊥CM
⇒d(CC′,A′M)=CM=a√32
g) SΔABC=AB2√34=a2√34,h=AA′=a
⇒VABC.A′B′C′=SΔABC.AA′=a2√34.a=a3√34
SΔMBC=12SΔABC=a2√38,h=AA′=a
⇒VA′.MBC=13SΔMBC.AA′=13.a2√38.a=a3√324