Bài 7 trang 41

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km.

Đề bài

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $\frac{π}{10}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ $y_{M}$ của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ $y_{N} = - 1 (k m) .$ Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào đề bài để viết hàm số biểu thị toạ độ $y_{M}$ .

b) Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thoả mãn $\tan α = m$ . Khi đó:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z .$

Lời giải chi tiết

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: $α = \frac{π}{10} t$ rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

$M O = t a n α .1 = \tan (\frac{π}{10} t)$ .

Vậy tọa độ $y_{M} = \tan (\frac{π}{10} t)$ .

b) Xét $\tan (\frac{π}{10} t) = - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan (\frac{π}{10} t) = \tan (- \frac{π}{4}) \\ \Leftrightarrow \frac{π}{10} t = - \frac{π}{4} + k π \\ \Leftrightarrow t = - \frac{5}{2} + 10 k, k \in Z . \end{array}$

Vì $t \geq 0$ nên tại các thời điểm $t = - \frac{5}{2} + 10 k, k \in Z, k \geq 1$ thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.