Bài 7 trang 80

Cho một tam giác đều ABC cạnh aaa. Tam giác A1B1C1A1B1C1{A_1}{B_1}{C_1} có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2A2B2C2{A_2}{B_2}{C_2} có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…A1B1C1,…{A_1}{B_1}{C_1}, \ldots , tam giác An+1Bn+1Cn+1An+1Bn+1Cn+1{A_{n + 1}}{B_{

Đề bài

Cho một tam giác đều ABC cạnh $a$ . Tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}, \dots$ , tam giác $A_{n + 1} B_{n + 1} C_{n + 1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}, \dots$ Gọi $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, \dots$ và $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}, \dots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, \dots, A_{n} B_{n} C_{n}, \dots$ .

a) Tìm giới hạn của các dãy số $(p_{n})$ và $(S_{n})$ .

b) Tìm các tổng $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} + \dots$ và $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u_{1}}{1 - q}$ .

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.

Diện tích tam giác bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng.

Lời giải chi tiết

+) $(p_{n})$ là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự $A B C, A_{1} B_{1} C_{1}, \dots$

Ta có:

$p_{2} = p_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3 a) = \frac{1}{2} \cdot p_{1}$

$\begin{array}{l} p_{3} = p_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot (3 a) = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot p_{1} \\ \dots \\ p_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot p_{1} \\ . . . \end{array}$

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} p_{n} = lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot (3 a)) = lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot lim_{n \to \infty} (3 a) = 0.3 a = 0.$

+) $(S_{n})$ là dãy số diện tích của các tam giác theo thứ tự $A B C, A_{1} B_{1} C_{1}, \dots$

Gọi $h$ là chiều cao của tam giác $A B C$ và $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} S_{3} = S_{Δ A_{2} B_{2} C_{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{h}{4} = {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (\frac{1}{2} a h) = {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot S_{1} \\ \dots \\ S_{Δ A_{n} B_{n} C_{n}} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot S_{1} \\ \dots \end{array}$

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} S_{n} = lim_{n \to \infty} ({(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot S_{1}) = lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} a h) = 0 \cdot \frac{1}{2} a h = 0$ .

b) +) Ta có $(p_{n})$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $p_{1}$ = 3a và công bội $q = \frac{1}{2}$ thỏa mãn $| q | < 1$ có tổng:

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} + \dots = \frac{3 a}{1 - \frac{1}{2}} = 6 a$

+) Ta có $(S_{n})$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $S_{1} = \frac{1}{2} a h$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ thỏa mãn $| q | < 1$ có tổng:

$S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} + \dots = \frac{\frac{1}{2} a h}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} a h = \frac{2}{3} a . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3}$