Bài 7 trang 82

Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD) có tất cả các cạnh đều bằng (a) và có (O) là giao điểm hai đường chéo của đáy.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ và có $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$ .

b) Tính thể tích của khối chóp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

‒ Công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S h$ .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $O H ⊥ S B (H \in S B)$

$S . A B C D$ là chóp tứ giác đều $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A C$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C ⊥ B D$

$\Rightarrow A C ⊥ (S B D) \Rightarrow A C ⊥ O H$

Mà $O H ⊥ S B$

$\Rightarrow d (A C, S B) = O H$

$B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow B O = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$Δ S B O$ vuông tại $O \Rightarrow S O = \sqrt{S B^{2} - B O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$Δ S B O$ vuông cân tại $O$ có đường cao $O H$

$\Rightarrow d (A C, S B) = O H = \frac{1}{2} S B = \frac{a}{2}$

b) $S_{A B C D} = A B^{2} = a^{2}$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$