Bài 7 trang 86

Đề bài

Cho tam giác đều có cạnh bằng $a$, gọi là tam giác $H_1$. Nối các trung điểm của $H_1$ để tạo thành tam giác $H_2$. Tiếp theo, nối các trung điểm của $H_1$, để tạo thành tam giác $H_3$ (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác $H_1,H_2,H_3,...$

Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.

Lời giải chi tiết

Gọi $u_n$ là độ dài cạnh của tam giác đều thứ $n$.

Ta có: $u_1=a;u_2=\frac{u_1}{2};u_3=\frac{u_2}{2};...$

Từ đó ta thấy $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=a$, công bội $q=\frac{1}{2}$.

Vậy $u_n=u_1.q^{n-1}=a.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{a}{2^{n-1}},n=1,2,3,...$

Chu vi của tam giác đều thứ $n$ là: $p_n=3u_n=\frac{3a}{2^{n-1}},n=1,2,3,...$

Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:

$P_n=3a+\frac{3a}{2}+\frac{3a}{2^2}+...+\frac{3a}{2^{n-1}}+...=3a\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+...\right)$

Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=\frac{1}{2}$.

Vậy $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\Rightarrow P_n=3a.2=6a$.

Diện tích của hình vuông thứ $n$ là:

$s_n=\frac{u_n^2\sqrt{3}}{4}={\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.{\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right)}^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{4^{n-1}},n=1,2,3,...$

Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:

$S_n=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{4^2}+...+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{4^{n-1}}+...=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{n-1}}+...\right)$

Tổng $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{n-1}}+...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=\frac{1}{4}$.

Vậy $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{n-1}}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}\Rightarrow S_n=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{4}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$