Bài 7 trang 94

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD.

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD.

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI).

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.

Ta có: HK // AB, AB // MN.

Suy ra MN // HK.

Theo định lý Thales, ta có: $\frac{GM}{GH}=\frac{GN}{GK}=\frac{MN}{HK}$ (1)

Ta có: $\frac{HK}{AB}=\frac{1}{2},\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$.

Do đó $\frac{MN}{AB}:\frac{HK}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{GM}{GH}=\frac{2}{3}GH=\frac{1}{2}GA\Rightarrow \frac{GM}{\frac{1}{2}GA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GA}=\frac{1}{3}$.

Chứng minh tương tự ta được $\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.

c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD.

Tam giác AED có: $\frac{EM}{ED}=\frac{EQ}{EA}=\frac{1}{3}$.

Suy ra: QM // AD.

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA.

Nên D, G, Q thẳng hàng.

Ta có: QM // AD nên $\frac{QM}{AD}=\frac{EM}{ED}=\frac{EQ}{EA}=\frac{1}{3}$.

Mà $\frac{QM}{AD}=\frac{QG}{GD}$.

Do đó: $\frac{QG}{GD}=\frac{1}{3}$.

Chứng minh tương tự ta được $\frac{GP}{GC}=\frac{1}{3}$.

Suy ra điều cần chứng minh.