Bài 8.1 trang 54

Cho tứ diện đều ABCDABCDABCD. Gọi MMM là trung điểm của BCBCBC. Tính cos(AB,DM)cos⁡(AB,DM)\cos \left( {AB,DM} \right)

Đề bài

Cho tứ diện đều $A B C D$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Tính $\cos (A B, D M)$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Gọi $N$ là trung điểm của $A C$ . Khi đó $M N / / A B$

+ Góc giữa $(A B, M D) = (M N, M D)$

+ Tính các cạnh $M N, N D, M D$

+ Tính $\cos M = \frac{M N^{2} + M D^{2} - N D^{2}}{2 M N . M D}$

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng $a$

Gọi $N$ là trung điểm của $A C$ . Suy ra $M N$ là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow M N / / A B; M N = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$

Vì $M N / / A B$ $\Rightarrow (A B, M D) = (M N, M D) = \hat{N M D}$ (vì góc $\hat{N M D}$ là góc nhọn)

Vì tam giác $B C D$ đều nên $M D ⊥ B C$ $\Rightarrow M D = \sqrt{B D^{2} - B M^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tương tự, $N D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét $Δ M N D$ có $\cos M = \frac{M N^{2} + M D^{2} - N D^{2}}{2 M N . M D}$ $= \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow \hat{M} \approx 73^{o}$ . Vậy $(A B, M D) \approx 73^{o}$