Bài 8.1 trang 54

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $\cos \left(AB,DM\right)$

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng $a$

Gọi $N$ là trung điểm của $AC$. Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow MN//AB;MN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$

Vì $MN//AB$$\Rightarrow \left(AB,MD\right)=\left(MN,MD\right)=\widehat{NMD}$ (vì góc $\widehat{NMD}$ là góc nhọn)

Vì tam giác $BCD$ đều nên $MD\perp BC$$\Rightarrow MD=\sqrt{B{D}^2-B{M}^2}$$=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tương tự, $ND=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét $\Delta MND$ có $\cos M=\frac{M{N}^2+M{D}^2-N{D}^2}{2MN.MD}$$=\frac{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

$\Rightarrow \hat{M}\approx {73}^o$. Vậy $\left(AB,MD\right)\approx {73}^o$