Bài 8.11 trang 63

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC và SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $A H$ là hình chiếu vuông góc của $S A$ trên $(A B C)$ từ đó suy ra góc cần tìm là góc $\hat{S A H}$

Dựa vào đường trung tuyến của tam giác đều để tính cạnh $A H, S H$

Sử dụng tỉ số lượng giác: $\tan α$ để tính số đo góc

Lời giải chi tiết

Vì hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(A B C)$ là trung điểm $H$ của $B C$ nên $S H ⊥ (A B C)$

Vì $S H ⊥ (A B C)$ nên $A H$ là hình chiếu vuông góc của $S A$ trên $(A B C)$

Vậy góc giữa $S A$ và $(A B C)$ là góc giữa $S A$ và $A H$ , góc giữa $S A$ và $A H$ là góc $\hat{S A H}$

Vì $Δ A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ suy ra đường trung tuyến $A H$ nên $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vì $Δ S B C$ là tam giác đều có cạnh $B C = a$ suy ra đường trung tuyến $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét $Δ S A H$ vuông tại $A$ có $\tan \hat{S A H} = \frac{S H}{A H} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = 1$ $\Rightarrow \hat{S A H} = 45^{o}$