Bài 8.12 trang 63

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và SA=√2.aSA=2.aSA = \sqrt 2 .a.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và $S A = \sqrt{2} . a$ .Tính số đo góc giữa SC và (SAB)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $B C ⊥ (S A B)$ từ đó suy ra $S B$ là hình chiếu của $S C$ trên $(S A B)$

Từ đó xác định góc cần tìm là góc $\hat{B S C}$

Sử dụng Định lý Pi – ta – go để tính cạnh $S B$ trong $Δ S A B$ vuông tại $A$

Sử dụng $\tan α$ để tính góc $\hat{B S C}$ trong tam giác $S B C$ vuông tại $B$

Lời giải chi tiết

Ta có $S A ⊥ B C$ vì $S A ⊥ (A B C D)$

Vì ${\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B (g t) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Suy ra $S B$ là hình chiếu vuông góc của $S C$ trên $(S A B)$

Vậy góc giữa $S C$ và $(S A B)$ là góc giữa $S C$ và $S B$

Vậy góc đó là góc $\hat{B S C}$

Xét $Δ S A B$ vuông tại $A$ có $S A = a \sqrt{2}, A B = a \Rightarrow S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$

Xét $Δ S B C$ vuông tại $B$ có $\tan \hat{B S C} = \frac{B C}{S B} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{B S C} = 30^{o}$