Bài 8.15 trang 78

Đề bài

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố:

$A$: “Chọn được học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

Suy ra $\overline{A}$: “Chọn được học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu”.

$B$: “Chọn được học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Suy ra $\overline{B}$: “Chọn được học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu”.

Ta có $P\left(A\right)=93\%=0,93$; $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,93=0,07$;

$P\left(A\right)=87\%=0,87$; $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,87=0,13$.

Có $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố $A-\overline{B}$; $\overline{A}-B$ và $\overline{A}-\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)=0,93.0,87=0,8091$.

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,07.0,13=0,0091$.

c) Để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu:

+ TH1: Học sinh trường X đạt yêu cầu, học sinh trường Y không đạt yêu cầu:

$P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right).P\left(\overline{B}\right)=0,93.0,13=0,1209$.

+ TH2: Học sinh trường X không đạt yêu cầu, học sinh trường Y đạt yêu cầu:

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,07.0,87=0,0609$.

Vậy xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P\left(A\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}B\right)=0,1209+0,0609=0,1818$.

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,93+0,87-0,8091=0,9909$.