Bài 8.2 trang 54

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B′D′AC \bot B'D', AB′⊥CD′AB' \bot CD' và AD′⊥CB′AD' \bot CB'

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng $A C ⊥ B^{'} D^{'}$ , $A B^{'} ⊥ C D^{'}$ và $A D^{'} ⊥ C B^{'}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Góc giữa hai đường thẳng $a, b$ là góc giữa hai đường thẳng $a^{'}, b^{'}$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a, b$ .

Dựa vào tính chất: hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

+) Vì $B^{'} D^{'} / / B D$ $\Rightarrow (A C, B^{'} D^{'}) = (A C, B D)$

Vì $A B C D$ là hình thoi nên $A C ⊥ B D$ $\Rightarrow (A C, B D) = 90^{o}$

$\Rightarrow (A C, B^{'} D^{'}) = 90^{o} \Rightarrow A C ⊥ B^{'} D^{'}$

+) Vì $A B^{'} / / D C^{'} \Rightarrow (A B^{'}, C D^{'}) = (D C^{'}, C D^{'})$

Vì $C D D^{'} C^{'}$ là hình thoi nên $C D^{'} ⊥ D C^{'}$ $\Rightarrow (D C^{'}, C D^{'}) = 90^{o}$ $\Rightarrow (A B^{'}, C D^{'}) = 90^{o} \Rightarrow A B^{'} ⊥ C D^{'}$

+) Vì $A^{'} D / / B^{'} C \Rightarrow (A D^{'}, C B^{'}) = (A D^{'}, A^{'} D)$

Vì $A D D^{'} A^{'}$ là hình thoi nên $A^{'} D ⊥ A D^{'}$ $\Rightarrow (A D^{'}, C B^{'}) = 90^{o} \Rightarrow A D^{'} ⊥ C B^{'}$