Bài 8.2 trang 71

Đề bài

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”;

F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”;

K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Chứng minh rằng K là biến cố hợp của E và F.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

E = {(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6)}.

F = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 3); (4; 5); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 3); (6; 5)}.

Suy ra: E ∪ F = {(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6); (1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 3); (4; 5); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 3); (6; 5)}.

Mặt khác:

K = {(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6); (1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 3); (4; 5); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 3); (6; 5)}

Vậy K = E ∪ F (điều cần phải chứng minh).

Cách 2:

Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra về tính chẵn lẻ của hai số x và y:

TH1: E xảy ra: x và y đều chẵn.

Khi đó tích x.y chắc chắn là số chẵn.

Vậy khi E xảy ra thì K xảy ra.

TH2: F xảy ra: (x chẵn, y lẻ) hoặc (x lẻ, y chẵn).

Khi đó tích x.y chắc chắn là số chẵn.

Vậy khi F xảy ra thì K xảy ra.

TH3: x và y đều lẻ.

Khi đó tích x.y chắc chắn là số lẻ.

Vậy K không xảy ra.

Từ các lập luận trên, ta thấy bến cố hợp $E \cup F$ bao gồm TH1 và TH2. Điều này tương đương hoàn toàn với điều kiện "có ít nhất một số chẵn", vốn là điều kiện cần và đủ để tích x.y là một số chẵn (biến cố K).

Vậy ta có điều phải chứng minh: $K = E \cup F$.