Bài 8.29 trang 83

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có AC = 2a.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và tam giác SAB vuông tại S. Tính thể tích khối chóp này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức tính thể tích hình chóp: $V = \frac{1}{3} S . h$ với S là diện tích đáy, h là đường cao.

Hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: $A B . A C = A H . B C$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{A B^{2} + C B^{2}} \\ \Leftrightarrow 2 a = \sqrt{2 A B^{2}} \\ \Leftrightarrow 4 a^{2} = 2 A B^{2} \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 2 a^{2} \\ \Leftrightarrow A B = \sqrt{2} a \end{array}$

Xét tam giác SAB vuông tại S:

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{S A^{2} + S B^{2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{2} a = \sqrt{2 S A^{2}} \\ \Leftrightarrow 2 a^{2} = 2 S A^{2} \\ \Leftrightarrow S A = a \end{array}$

Tam giác vuông SAB có SH là đường cao có:

$\begin{array}{l} S H . A B = S A . S B \\ \Leftrightarrow S H = \frac{a . a}{\sqrt{2} a} = \frac{\sqrt{2}}{a} a \end{array}$

$V = \frac{1}{3} S . h = \frac{1}{3} . A B^{2} . S H = \frac{1}{3} . {(\sqrt{2} a)}^{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$