Bài 8.3 trang 54

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông ABCDABCDABCD cạnh bằng aaa

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông $A B C D$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $A D$ và $S D$ . Chứng minh $M N ⊥ S C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $M N / / S A$

Chứng minh $S A ⊥ S C$ dựa vào việc tính các cạnh của tam giác $S A C$

Lời giải chi tiết

Vì $M N / / S A$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó, $(M N, S C) = (S A, S C) = \hat{C S A}$

Vì $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ nên $A C = a \sqrt{2}$ .

Xét $Δ S A C$ có $S A = S C = a, A C = a \sqrt{2}$ $\Rightarrow S A^{2} + S C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = {(\sqrt{2} a)}^{2} = A C^{2}$

$\Rightarrow Δ S A C$ vuông tại $S$ (theo định lí Pi-ta-go)

$\Rightarrow S A ⊥ S C \Rightarrow M N ⊥ S C$