Bài 8.4 trang 54

Cho tứ diện ABCDABCDABCD có AC=a,BD=3aAC=a,BD=3aAC = a,BD = 3a. M,NM,NM,N lần lượt là trung điểm của ADADAD và BCBCBC. Biết ACACAC vuông góc với BDBDBD, tính MNMNMN.

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ có $A C = a, B D = 3 a$ . $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A D$ và $B C$ . Biết $A C$ vuông góc với $B D$ , tính $M N$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $P$ là trung điểm của $C D$ .

Chứng minh $N P / / B D, M P / / A C$ suy ra $(A C, B D) = (M P, N P) = \hat{M P N}$

Dựa vào $A C ⊥ B D \Rightarrow \hat{M P N} = 90^{o}$

Dựa vào $Δ M N P$ vuông tại $P$ để tính $M N$

Lời giải chi tiết

Gọi $P$ là trung điểm của $C D$

$\Rightarrow N P$ là đường trung bình của $Δ B C D \Rightarrow N P / / B D, N P = \frac{1}{2} B D = \frac{3 a}{2}$

Vì $P$ là trung điểm của $C D$

$\Rightarrow M P$ là đường trung bình của $Δ A C D \Rightarrow M P / / A C, N P = \frac{1}{2} A C = \frac{a}{2}$

Vì $N P / / B D, M P / / A C$ suy ra $(A C, B D) = (M P, N P) = \hat{M P N}$

Mà $A C ⊥ B D \Rightarrow \hat{M P N} = 90^{o}$ $\Rightarrow Δ M N P$ vuông tại $P$

$\Rightarrow M N^{2} = M P^{2} + N P^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2} = \frac{10 a^{2}}{4}$ $\Rightarrow M N = \frac{a \sqrt{10}}{2}$