Bài 8.45 trang 90

Đề bài

Cho tử diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC. Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

A. 90⁰.

B. 30⁰.

C. 60⁰.

D. 45⁰.

Lời giải chi tiết

Đặt OA = OB = OC = a

Gọi D là trung điểm của AC nên DM // AB và bằng một nửa AB

$\Rightarrow \widehat{\left(OM,AB\right)}=\widehat{\left(OM,DM\right)}=\widehat{OMD}$

Ta có: OA vuông góc và bằng OC nên tam giác OAC là tam giác vuông cân tại C

$AC=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2}a$

$\begin{array}{c}AC.OD=OA.OC\\ \iff OD=\frac{\sqrt{2}}{2}a\end{array}$

Tương tự với OM, ta có: $OM=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2}a$

Suy ra $DM=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Vậy tam giác DOM đều. Suy ra $\widehat{OMD}={60}^0$.

Chọn đáp án C.