Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Giải bài 2.25 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho ba vectơ và .

a) Tìm tọa độ của các vectơ và .

b) Tính các tích vô hướng và .

c) Tính côsin của các góc và .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

.

b) Ta có:

; .

c) Từ ý b ta có và .

Ta có ;

.

Giải bài 2.26 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ .

Xác định giá trị của trong mỗi trường hợp sau:

a) .

b) .

c) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có . Để thì .

b) Ta có . Để thì

c) Ta có .

Để thì .

Giải bài 2.27 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1;3; - 3} \right)\), \(B\left( {2;0;5} \right)\), \(C\left( {6;9; - 5} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 4;3} \right)\).

a) Tìm tọa độ trọng tâm \(I\) của tam giác \(ABC\).

b) Tìm tọa độ của điểm \(G\) thuộc đoạn thẳng \(DI\) sao cho\(DG = 3IG\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(I\left( {\frac{{1 + 2 + 6}}{3};\frac{{3 + 9}}{3};\frac{{ - 3 + 5 - 5}}{3}} \right) \Leftrightarrow I\left( {3;4; - 1} \right)\).

b) Giả sử \(G\left( {a;b;c} \right)\). Vì \(G\) thuộc đoạn \(DI\) và \(DG = 3IG\) nên \(\overrightarrow {DG}  = 3\overrightarrow {GI} \)

(do \(G\) nằm giữa \(D,I\)).

Ta có \(\overrightarrow {DG}  = \left( {a + 1;b + 4;c - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {GI}  = \left( {3 - a;4 - b; - 1 - c} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {DG}  = 3\overrightarrow {GI}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 9 - 3a\\b + 4 = 12 - 3b\\c - 3 =  - 3 - 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(G\left( {2;2;0} \right)\).

Giải bài 2.28 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện . Trọng tâm của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức . Chứng minh rằng tọa độ của điểm được cho bởi công thức:

Lời giải chi tiết

.

Ta có

Suy ra tọa độ được xác định theo công thức ; ; (điều phải chứng minh).

Giải bài 2.29 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\). Hãy giải tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 2;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {9 + 1}  = \sqrt {10} \) và \(AC = \sqrt {1 + 4 + 16}  = \sqrt {21} \).

\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{3 - 2}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {21} }} = \frac{1}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 1;0} \right)\) suy ra \(BC = \sqrt {4 + 9 + 16}  = \sqrt {29} \) và \(AB = \sqrt {10} \).

\(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AB \cdot BC}} = \frac{{6 + 3}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {29} }} = \frac{9}{{\sqrt {290} }}\). Suy ra \(\widehat {ABC} \approx {58,096^ \circ }\).

Do đó \(\widehat {BCA} \approx {39,92^ \circ }\). Vậy tam giác \(ABC\) có các cạnh là \(AB = \sqrt {10} \), \(BC = \sqrt {29} \), \(AC = \sqrt {21} \);

 các góc là \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\), \(\widehat {ABC} \approx {54,04^ \circ }\), \(\widehat {BCA} \approx {35,864^ \circ }\).

Giải bài 2.30 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .

c) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có gốc tọa độ là nên ; thuộc tia và nên ; thuộc tia và nên ; thuộc tia và nên .

Ta có ; ;

; .

Vậy , , , , , ,

và .

b) Ta có , và suy ra .

c) Ta có ; . Suy ra . Vậy ba điểm thẳng hàng.

Giải bài 2.31 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của một cột lần lượt là 3 m và 2 m. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng trùng với mặt sân, trục hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ tọa độ được lấy theo mét.

a) Biết rằng chân của hai cột có tọa độ lần lượt là và , hãy tìm tọa độ điểm đầu của mỗi cột.

b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. Hỏi sợi dây cần có độ dài tối thiểu là khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

a) Xét đầu chiếc cột có chiều cao 3 m, ta thấy điểm này nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng về hướng theo tia (hướng lên trên) do đó điểm sẽ có cùng hoành độ và tung độ với điểm ở vị trí chân cột, còn cao độ sẽ lớn hơn 3. Suy ra đầu chiếc cột có chiều cao 3 m có tọa độ là .

Tương tự xét đầu chiếc cột có chiều cao 2 m, điểm này có tọa độ là .

b) Độ dài tối thiểu của sợi dây có thể có chính là khoảng cách giữa hai đầu chiếc cột.

Suy ra độ dài tối thiểu của sợi dây là (m).

Giải bài 2.32 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ 2 là 3 m và cách mặt đất là 1,2 m. Đầu B của sợi dây nằm trên bức tường thứ 2, cách bức tường thứ nhất là 1 m và cách mặt đất là 2 m.

a) Hãy lập một hệ trục tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu A, B trong hệ tọa độ đó.

b) Tính độ dài của sợi dây được căng.

Lời giải chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó $O$ là góc tường, giao của hai mặt bên là tia $Oz$, giao của mặt bên và đáy lần lượt là hai tia $Ox,Oy$. Khi đó $A\left(3;0;1,2\right)$ và .

b)  Độ dài của sợi dây được căng là m.