Bài 8. Sự thống nhất giữa ba đường conic

Giải mục 2 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

Giải bài 3.17 trang 60 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

c) \({y^2} = 8x\)

Lời giải chi tiết

a) Elip có PTCT  \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

\( \Rightarrow a = 5;b = 4 \Rightarrow c = 3;e = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{25}}{3}.\)

(E) có đường chuẩn \({\Delta _1}:x =  - \frac{{25}}{3}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{25}}{3}\)

b) Hypebol có PTCT  \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

\( \Rightarrow a = 3;b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {13} ;e = \frac{{\sqrt {13} }}{3} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{9}{{\sqrt {13} }} = \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}.\)

(H) có đường chuẩn \({\Delta _1}:x =  - \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}\)

c) Parabol có PTCT  \({y^2} = 8x\)

\( \Rightarrow 2p = 8 \Leftrightarrow p = 4\)

 (P) có đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2} =  - 2\)

 

Giải bài 3.18 trang 60 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai elip \(({E_1}):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) và \(({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm M thuộc elip \(({E_2})\) thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip \(({E_1}).\)

Lời giải chi tiết

a) \(({E_1}):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có \(a = 5,b = 4 \Rightarrow c = 3\)

Vậy tâm sai \({e_1} = \frac{3}{5}\)

\(({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) có \(a = 10,b = 8 \Rightarrow c = 6\)

Vậy tâm sai \({e_2} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} = {e_1}\)

b) Giả sử \(M({x_0};{y_0})\) thuộc \(({E_2}).\)

\( \Rightarrow \) Trung điểm N của OM là: \(N(\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2})\)

Ta có: \(\frac{{{x_0}^2}}{{100}} + \frac{{{y_0}^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{x_0}^2}}{4}}}{{25}} + \frac{{\frac{{{y_0}^2}}{4}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{{\left( {\frac{{{y_0}}}{2}} \right)}^2}}}{{16}} = 1\)

\( \Rightarrow \) N thuộc \(({E_1}).\)

 

Giải bài 3.19 trang 60 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là \(\Delta :x + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

Đường conic có tâm sai bằng 1 thì là parabol.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} }}{{\left| {x + 2} \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}}  = \left| {x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} = 8x\end{array}\)

Giải bài 3.20 trang 60 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, có tâm sai bằng 0,967.

a) Giải thích vì sao ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng 0,967 là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.

b) Biết khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng \({88.10^6}\) km, tính khoảng cách xa nhất (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley có phương trình chính tắc:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (E)

Gọi (E’) là elip bất kì với tâm sai \(e' = e = 0,967\), có PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{a{'^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{b{'^2}}} = 1\) (a’<a)

\(e' = e\) hay \(\frac{{c'}}{{a'}} = \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {a{'^2} - b{'^2}} }}{{a'}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a{'^2} - b{'^2}}}{{a{'^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow 1 - \frac{{b{'^2}}}{{a{'^2}}} = 1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{b'}}{{a'}} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{b}{{b'}} = \frac{a}{{a'}} = k\) (k>1)

Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc (E) ta có:

\(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{{\left( {ka'} \right)}^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{{\left( {kb'} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{{x_0}}}{k}} \right)}^2}}}{{a{'^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{{y_0}}}{k}} \right)}^2}}}{{b{'^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow M'(\frac{1}{k}{x_0};\frac{1}{k}{y_0}) \in (E')\)

Dễ thấy \(\overrightarrow {OM'}  = \frac{1}{k}\overrightarrow {OM} \) với mọi M thuộc (E)

Nói cách khác, (E’) là một elip thu nhỏ của (E).

b) Giả sử tâm Mặt Trời ở vị trí tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\)

Với \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc (E), ta có:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = {88.10^6}\)

Mà \(e = \frac{c}{a} = 0,967\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{3}{.10^9} \approx 2\;666\;666\;667\\c \approx 2\;578\;666\;667\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 5\;245\;333\;334\) (km).

Vậy khoảng cách xa nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt trời là 5 245 333 334 km.