Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải bài 4.7 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng

\(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\).

Lời giải chi tiết

Gọi điểm \(O\) bất kỳ, vẽ vectơ \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(O,\,\,A,\,\,B\) không thẳng hàng.

Xét \(\Delta ABC\), áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}OA - AB < OB < OA + AB\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\end{array}\)

Giải bài 4.8 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý thuộc cạnh \(BC,\) khác \(B\) và \(C.\) \(MO\) cắt cạnh \(AD\) tại \(N.\)

a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Chứng minh rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC.\)

Lời giải chi tiết

a)  Xét \(\Delta BOM\) và \(\Delta DON\) có:

\(\widehat {BMO} = \widehat {DNO}\) (2 góc so le trong)

\(OB = OD\)

\(\widehat {BOM} = \overrightarrow {DOC} \) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BOM = \Delta DON\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \) \(OM = ON\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \) \(O\) là trung điểm của \(MN\)

b)  Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\Delta BOM = \Delta DON\)

\( \Rightarrow \) \(BM = DN\)

Mặt khác \(BM\)//\(DN\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {ND} \)

Xét \(\Delta MNC\):

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC}  = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {GC} \)

\( = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MNC\)

Giải bài 4.9 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD.\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\)

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} \)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

b) Biến đổi vế trái: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \) (đpcm)

Giải bài 4.10 trang 51 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\)

a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \)

b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {MA} .\)

c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} .\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {DF} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(CDFE\) là hình bình hành.

Ta có: \(D\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DC} \) 

Ta có: \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {CF}  + \overrightarrow {FB}  = \overrightarrow {CB} \)

b)     Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {CB} \)

mặt khác \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {MA} .\)

nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {MA} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(E\)

c)      Theo câu b, ta có: tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} .\)

Giải bài 4.11 trang 51 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng \(A.\) Cho biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 30N,\,\,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40N.\) Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {BAC} = {90^ \circ }\).

Nên tứ giác \(ABEC\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

\(= \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}}  = 50\,\,(N)\).

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cùng cường độ và ngược chiều nhau.

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {F{}_3} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = AD = 50\,\,(N)\).

Giải bài 4.12 trang 51 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên mặt phẳng, chất điểm \(A\) chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \({60^ \circ }.\) Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} ,\) biết rằng \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} \) lần lượt biểu thị cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) và vectơ \(\overrightarrow {AE} \) biểu thị cho hợp lực của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \)

Ta có: tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành

mặt khắc \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\)

nên tứ giác \(ABEC\) là hình thoi

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\( \Rightarrow \) \(AE = 2.\frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 6\,\,(N)\)

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cùng cường độ và ngược chiều nhau

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {F{}_3} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = AE = 6\,\,(N)\)